Los transfinitos (Capítulo 3: Ordinales)



El buen orden, sus tipos y las clases numéricas


1. Introducción


   Con Georg Cantor cambió la idea que se tenía de los números hasta los que Diamante, de 9 años y medio, quiere a su mamá. Cantor amplió notablemente el club de los enteros positivos, al agregarle los enteros positivos transfinitos (spoiler: no hay transfinitos negativos ni fraccionarios).
   Hasta Cantor, sólo había una infinidad de enteros finitos (o números naturales: 0, 1, 2, 3…). Desde él, también hay muchas otras infinidades de enteros transfinitos (en sus dos modalidades, cardinal y ordinal).
   ¿Cuánto es «muchas otras»? Para que se den una idea, es una cantidad inexagerable. De hecho, excede por mucho —por muchísimo— la capacidad de contar que tienen los números naturales, que es infinita (ese otro es entonces un infinito incontable, se dice; uno contable es contable con el conjunto de los naturales, que acá quedó corto).

   Pero una cosa es que existan esas infinidades supernumerarias y otra es que nos resulten familiares, o incluso conocidas: a más de 120 años de su invención o descubrimiento, todavía el sentido común sobre el infinito es que las estrellas lo son (o pueden serlo) y/o que no hay un último número natural. (Como pares e impares en la serie, los contendientes de disputas que conocí de chico escalaban los valores de lo disputado hasta que uno cerraba diciendo “Siempre 1 más que vos”.)
   Como sea, todavía el sentido común está lejos de aceptar así nomás que el infinito sea una cantidad y que pueda tener un número que la identifique, como cualquier otra; que haya una totalidad infinita; o peor: que haya una totalidad infinita mayor que otra totalidad infinita; o peor: que haya una infinidad inimaginable de totalidades infinitas (empezando por la de los números naturales).
   Cantor las llamó ℵo, ℵ1, ℵ2… ; Luni (7 años y medio) las llamó “infinito 1, infinito 2, infinito 3, y así” (por aplicarse a totalidades, los transfinitos involucrados son los cardinales, no los ordinales, como le dije a Eva hace algo más de 1 año y medio):








   “Zatamente”, le contesté. Y sigo por acá: mínimo, resultó ser que la intuición se entrena y si te enseñan los infinitos desde la infancia no te van a parecer tan contraintuitivos como cuando te los encontrás de grande (si te los encontrás, que no será lo más probable pero acá estás).
   Pero sí, todavía son contraintuitivos y novedosos para la enorme mayoría de las personas y, por lo tanto, para el sentido común sobre el tema.

   Hablemos de la resistencia o dureza de ese sentido común. ¿Qué otro tema tiene a la gente pensando más o menos lo mismo desde su infancia hasta su muerte, no importa con qué nivel educativo o social y casi que tampoco de qué cultura? Hablame de transversalidad.

   En el primer contacto los transfinitos nos resultan imposibles, contradictorios. Lo que creemos del infinito se opone a ellos, a su existencia, a su posibilidad. Acá busco que resulten comprensibles.
   Antes de Cantor (y mientras lo ignoremos), el infinito es uno y discurre por una sola estructura, la de una enumeración infinita simple: [x, x, x, x…]; desde Cantor, hay varios y discurren por varias estructuras infinitas, empezando por la primera. Acá busco mostrar cómo.

   Para el personaje Borges, que quiere poner en palabras el Aleph que acaba de ver, «el problema central es irresoluble: la enumeración, siquiera parcial, de un conjunto infinito». Igual la encara y, por supuesto, la abandona luego de un número finito de términos, que actúa de enorme (no llegan a 55, incluyendo «el inconcebible universo»).
   Si pudiera completarla, el conjunto de imágenes de «todos los lugares del orbe» sería enumerablemente infinito (o sea, tan grande como el de los números naturales, que acompaña a esa enumeración).
   Pero si tomamos al pie de la letra lo de «vistos desde todos los ángulos» o «desde todos los puntos del universo», se agrega una cantidad de imágenes superior a la de números naturales y el conjunto se vuelve no enumerablemente infinito.

   No hace falta el universo: el conjunto de puntos de una línea, por corta que sea, ya es igual de grande que el conjunto de números reales, que es igual de grande que el conjunto de selecciones posibles de números naturales, que son tres conjuntos mayores que el de números naturales: 2o (aka c) > ℵo.

   Cantor fue aun más allá. Se podría decir que engordó como nadie el Aleph, con perdón del anacronismo (y del localismo y del intelectualismo). Vamos a ver ese engorde. Empecemos por el postre.


2. Presentación del buen orden, sus tipos y las clases numéricas

   Con los postres del menú del hotel de Hilbert sólo importaba cuántos y cuáles seleccionábamos, no en qué orden; importaban los conjuntos de postres (los combos), no las series. Les llegó el momento de importar, porque vamos a hablar de los números ordinales transfinitos. Pero como todavía no salimos del menú de tres tristes postres (flan, helado, torta), empecemos por las series finitas y sus ordinales.
   Recordemos: los combos que se pueden hacer con un menú de n postres es 2n (con 3 postres se pueden hacer 23 = 8 combos). Complementemos: las series que se pueden hacer con n postres es el factorial de n (n!), que es la multiplicación de n por su antecesor inmediato, el antecesor inmediato de su antecesor inmediato, y así hasta llegar a 1.
   Por ejemplo, con el conjunto {t} se puede hacer 1! = 1 serie: la serie [t]. Con el conjunto {f, h} se pueden hacer 2! = 2×1 = 2 series: [f, h] y [h, f]. Y con el conjunto {f, h, t} se pueden hacer 3! = 3×2×1 = 6 series:

[f, h, t]
[f, t, h]
[h, f, t]
[h, t, f]
[t, h, f]
[t, f, h]

   Las series son distintas porque los postres son dispuestos en distinto orden, pero la forma de las seis series es la misma (son isomorfas): una enumeración de tres postres: p, p, p. Se la puede graficar como una hilera (), una pila () o una lista (), da igual.
   Lo que importa es que si hay una ley o criterio que los (bien)ordene, habrá siempre un postre que será el primero, otro que será el segundo y otro que será el tercero y último. Toda serie de tres términos, no importa cuáles ni en qué orden estén, tiene esta forma (o estructura o tipo de orden), que es la de una progresión finita y cuya longitud es lo que un número ordinal designa.

   Desambigüemos este uso de número ordinal. No es el mismo que hacemos cuando decimos que vamos al 9º piso de un edificio de 14, o que en esa foto Fulano es el 3º de una fila de 10; ahí el número ordinal indica la posición del piso en el edificio y de Fulano en la fila, no la forma que tiene una pila de 9 pisos o una fila de 3 lugares.
   Entonces: el número 3, en su sentido cardinal, identifica la cardinalidad (el tamaño) de un conjunto de tres elementos: {·.·}; y en su sentido ordinal usado acá, identifica el tipo de orden que supone una serie bien ordenada de tres términos: [x, x, x].
   Este tipo de orden no puede ser identificado por ningún otro número; a su vez, el 3 no identifica ningún otro tipo de orden. Hablemos de esta exclusividad recíproca, común a todos los ordinales (finitos y transfinitos).

   ¿Qué es eso de una serie “bien ordenada”? Los números ordinales no identifican el tipo de orden de cualquier clase de orden, sino específicamente de una, llamada el buen orden. Buen orden tiene cualquier serie de términos consecutivos, con uno que es el primero (el menor, si los disponemos de menor a mayor). Que sean consecutivos significa que cada término tiene su sucesor inmediato, o bien hasta uno último (la serie es finita), o bien sin un último sucesor inmediato (la serie es infinita). O tienen sucesor inmediato todos menos uno (el último) o tienen todos (no hay último).

   Ejemplificando se entiende la gente.
   La enumeración de enteros positivos según su magnitud genera una serie bien ordenada, ya sea que enumeremos sólo 3 (serie finita) o todos (serie infinita).
   En cambio, las fracciones que hay entre otras dos no generan una serie bien ordenada según su magnitud porque sus términos no son consecutivos: ninguna puede ser la sucesora inmediata de otra porque siempre entre cualesquiera dos fracciones hay otra.
   Esto es algo que a Zenón le hizo inferir que el corredor Aquiles no debería poder abandonar la línea de largada: antes de ir de A a B tiene que pasar por la mitad; y antes, por la mitad de la mitad; y antes, por la mitad de la mitad de la mitad; etc.
   Una cuenta regresiva finita es un buen orden: empieza (en 5, por ejemplo) y es consecutiva (–5, –4, –3, –2, –1). Pero una cuenta regresiva infinita (todos los enteros negativos ordenados así: …–3, –2, –1) tiene términos consecutivos pero no un buen orden porque no tiene un primer término, aunque tenga uno último (termina pero no empieza, como una eternidad anterior).*

   Existe una analogía aritmética de esta situación. A la inversa de la notación de números como π (3,14159…) o √2 (1,414…), que comienza pero no termina, hay dos números muy peculiares cuya notación termina pero no comienza; sus siete últimas cifras son ...7.109.376 y ...2.890.625.
   Para una explicación accesible y detallada del modo como se agrega una nueva cifra al grupo, véase Perelman, Y., Álgebra recreativa, Moscú, Editorial Mir, 1975, pp. 72-74.

Pero si en vez de regresiva la hacemos progresiva, la cuenta de los enteros negativos es una serie bien ordenada (de menor a mayor monedas adeudadas, por ejemplo): –1, –2, –3, –4… .
   Hay un primer término y cada uno tiene su sucesor inmediato: hay un buen orden. ¿Qué tipo de buen orden es? Eso lo dice el número ordinal que le corresponde.
   Como consecuencia de esta relación de designación, el conjunto de los números ordinales está en correspondencia 1 a 1 con el conjunto de los tipos de orden del buen orden. Si una serie tiene un buen orden, tiene un ordinal que dice cuál; si tiene un ordinal, es porque tiene un buen orden, del tipo que el ordinal designa.

   Como no hay otra forma de ordenar tres términos que no sea en una progresión [x, x, x], con números finitos los cardinales y los ordinales coinciden: un tamaño 3 corresponde siempre a un tipo de orden 3. O también: con un campo que provea 3 elementos no se puede hacer más que una progresión de 3 términos, cualquiera sea (de las 6 posibles).
   En cambio, ℵo elementos los podemos distribuir en una infinidad de estructuras distintas, no en una sola; la menor de ellas es una progresión de ℵo términos consecutivos, con uno que es el primero y ninguno que es el último:

x, x, x, x, ...

   Es la forma que tiene la enumeración de los naturales según su magnitud:

0, 1, 2, 3, ...

   El ordinal que identifica este tipo de orden es ω (la omega minúscula), el primer y menor ordinal transfinito. Todas las estructuras en las que se puedan distribuir ℵo elementos pertenecen a la Segunda Clase Numérica.
   ¿Cómo es esa infinidad de estructuras capaces de albergar ℵo elementos? ¿Hay ℵo estructuras así? No: hay más, inmediatamente más: hay ℵ1 ordinales en la Segunda Clase Numérica. Ya no es un infinito contable (o enumerable).

   Esta relación no es nueva. Decir que hay infinitos números finitos equivale a decir que el cardinal que mide el conjunto de ordinales de la Primera Clase, todos finitos, es ℵo.
   A su vez, el cardinal que mide el conjunto de elementos que se ordenan en la forma definida por un ordinal finito es un cardinal finito; de hecho, es el mismo: si el ordinal es n, se ordenan ahí n elementos. Luego, por cada cardinal finito hay un ordinal finito, y viceversa.
   Esta correspondencia entre cardinales y ordinales en el dominio de lo finito nos resulta invisible porque la creemos universal. Cuando vemos que las otras clases numéricas no la tienen, pasamos a verla infinitamente excepcional: su jurisdicción es la Primera Clase Numérica, de las que hay tantas como números cardinales transfinitos midiendo su tamaño (y usando de subíndices los ordinales, finitos y transfinitos): ℵo, ℵ1, ℵ2… ℵω, ℵω+1, ℵω+2… … .

   La Tercera Clase Numérica tiene ℵ2 ordinales, cada uno de ellos identificando una estructura donde se distribuyen ℵ1 elementos. La Cuarta Clase tiene ℵ3 ordinales, cada uno de ellos identificando una estructura donde se distribuyen ℵ2 elementos; etcétera.
   Los números cardinales transfinitos ℵ (y está demostrado que no hay ninguno que no sea una alef) tienen por subíndices números ordinales, primero los finitos y luego los transfinitos: después de todos los ℵn viene ℵω, que los limita y a la vez es el menor y el primero de otra serie infinita (ℵω, ℵω+1, ℵω+2, ℵω+3, ...). Y esto recién empieza.
   Moraleja obvia: entender cómo crece la serie de ordinales transfinitos es necesario para ver crecer la de los cardinales que los llevan de subíndices. Moraleja menos obvia: el paraíso que Cantor creó para nosotros y del que nadie podrá expulsarnos es un entramado de tamaños y estructuras.
   Dejemos que el aludido Hilbert nos guíe por una versión de ese paraíso, que convirtió en un complejo hotelero (y en una estructura mayor, que incluye a ese y a los otros ℵo complejos hoteleros; y en otra; y en otra; etcétera).


3. La construcción

   Hola, soy David Hilbert. Tal vez me recuerden por películas como “El hotel infinito” o “Pueden venir cuantos quieran, que serán tratados bien”...
   La segunda trataba de alguien que se ponía a cantar argumentos de equipotencia entre conjuntos infinitos que el sentido común (finitista) nos dice que tienen que ser desiguales (porque uno es la mitad —o el doble— que el otro). En cualquier caso, eran argumentos cardinales: comparación entre tamaños. Es el turno de comparar estructuras.

   Este es el relato del crecimiento de mi ambición hotelera. Todo empieza con un terreno baldío (0). Luego, en el modestísimo ini­cio de mi prosperidad, logro construir una pieza (1); después, otra al lado (2) y otra (3). Ya tengo un hotel de tres habitaciones. En el límite de su expansión horizontal, tendré un hotel de ℵo habitaciones, con capacidad para sendas personas (ya sea que supongamos que por cuarto hay 1 persona, 2, 3, 15.082.008 o ℵo, ya que ℵo × n = ℵo y ℵon = ℵo; hablemos de cuántos ángeles caben en la cabeza de un alfiler).
   El dato de que hay ℵo habitaciones nada nos dice sobre cómo están dispuestas; esa información nos la da, para el caso de este motel, el número ordinal ω. El cardinal ℵo identifica el tamaño del conjunto que forman las habitaciones: su cantidad, no su ordenamiento. La forma o estructura de una serie de habitaciones, con una que es la primera, otra que es la segunda, y así siguiendo sin una que sea la última, es lo que identifica el ordinal ω:

h, h, h, h, ...

   Como esa hilera infinita de habitaciones no puede ser aumentada con el agregado de una más, decido dejar de construir a lo largo y empiezo a construir a lo alto. Agrego entonces una habitación arriba de la primera y transformo el motel en un incipiente edificio con ℵo cuartos en su Planta Baja (o Piso 0) y sólo uno en su primer piso. Su estructura se ve así:

Piso 1: h.
Piso 0: h, h, h, h, ...

   Si tuviera que representarse en una línea, adoptaría la forma de una sucesión infinita con un término suelto al final:

h, h, h, h, ...     h.

   En definitiva, a la estructura identificada por ω se le ha acoplado la estructura identificada por 1, y se obtuvo la estructura compuesta cuyo ordinal es ω+1.
   Por cierto, la cantidad de turistas que puedo hospedar, a uno por cuar­to, es la misma que antes, ya que en esta versión del hotel hay en total ℵo+1 = ℵo habitaciones disponibles. Pero es innegable que mi construcción es mayor de lo que era, ya que su estructura pasó de ser simple (aunque de infinitos lugares) a ser compuesta (una estructura de ℵo lugares y otra de 1).
   Que esta estructura compuesta es mayor que aquella simple se verifica observando que la simple es igual a una parte de la compuesta (la parte que se obtiene omitiendo el único cuarto del primer piso), mientras que la compuesta no es igual a ninguna parte de la simple. Así se dirimen las cuestiones de lo mayor o menor o igual (la tricotomía) en el universo ordinal.

   La estructura aumenta —y con ella el número ordinal que la mide— cuando construyo una segunda habitación en el primer piso (ω+2), y luego una tercera (ω+3), y luego una cuarta (ω+4), etc. Como ocurrió con la Planta Baja, al primer piso del edificio se lo puede hacer crecer hasta ℵo habitaciones; agregarle una más a esa cantidad no lo hará más largo. Así, en el límite de este incremento el hotel duplica la longitud que tenía en su PB (ω+ω = ω×2). Grafiquemos los tres primeros pasos de este proceso y su límite:


   Ahora tengo un hotel de dos pisos, cada uno de ellos con ℵo habitaciones. La transcripción lineal de esta estructura tendrá la forma de una pro­gre­sión de dos sucesiones infinitas:

h, h, h, ...     h, h, h, ...

   La única manera inmediata de aumentar esta estructura es edificando una habitación arriba de la primera habitación del primer piso; con ella inauguro el segundo piso del hotel, que construiré del mismo modo que la PB y el primer piso: siempre agregando de a una habitación.
   El ordinal de la nueva estructura de dos pisos de infinitas habitaciones y uno de una es (ω×2)+1; su transcripción lineal es una progresión de dos sucesiones infinitas seguidas de un único término suelto:

h, h, h, ...     h, h, h, ...     h.

   La construcción de la segunda habitación del nuevo piso nos da el ordinal (ω×2)+2; la de todo el piso con sus ℵo habitaciones, el ordinal (ω×2)+ω (= ω+ω+ω), es decir, ω×3. Tenemos entonces un hotel de 3 pisos, cada uno de ellos con ℵo cuartos. (A pesar de este incremento estructural, la capacidad del hotel para albergar turistas no ha cambiado: ahora puede recibir ℵo × 3 = ℵo personas, igual que cuando consistía sólo en su actual PB.)
   Con idéntico método de construcción, al hotel de 3 pisos infi­nitos le sigue el hotel de 4 pisos infinitos (ω×4), el de 5 (ω×5), etc. El límite de la altura que puede ganar el hotel es el mismo que el límite de la extensión de cada piso, medida en cantidad de habitaciones: ℵo pisos; agregar más pisos no hará mayor la estructura del hotel, cuyo número ordinal habrá llegado a ω×ω = ω2:

· · ·
P3     h, h, h, h, ...
P2     h, h, h, h, ...
P1     h, h, h, h, ...
P0     h, h, h, h, ...

   La transcripción de ω2 en una línea da una progresión infinita de sucesiones infinitas:

h, h, h, h, ...     h, h, h, h, ...     h, h, h, h, ...     ...

   Nada de esto significa que la estructura alcanzada sea inaumentable, que no se le pueda agregar un lugar más; sólo significa que con ella hemos completado, en realidad, el primer edificio del complejo hotelero de Hilbert. O mejor: el primer cuerpo del (primer) edificio del (primer) complejo hotelero de la (primera) empresa del (primer) holding del (primer)... …de Hilbert.
   Entonces: si con esta estructura se completa un cuerpo del edificio, la construcción de la siguiente habitación (ω2+1) da comienzo al segundo cuerpo (más específicamente, a la PB del segundo cuerpo, cuyo número ordinal, una vez completada, será ω2+ω).
   Sobre la primera habitación de la PB infinita del segundo cuerpo edificamos la siguiente habitación, que es la primera del primer piso del segundo cuerpo; tenemos ahí una estructura de ordinal ω2+ω+1. La segunda habitación de este primer piso le da al hotel el ordinal ω2+ω+2; el piso entero, el ordinal ω2+ω+ω, es decir, ω2+(ω×2): un hotel de dos cuerpos, uno de infinitos pisos con infinitas habitaciones cada uno, y el otro de sólo dos pisos infinitos.

Cuerpo 1
· · ·     · · ·
P3     h, h, h, h, ...
P2     h, h, h, h, ...
P1     h, h, h, h, ...
P0     h, h, h, h, ...
Cuerpo 2



P1     h, h, h, h, ...
P0     h, h, h, h, ...

   Aumentando el tranco para apurar el paso, me espera la construcción de
   • 1 edificio de ℵo cuerpos de ℵo pisos de ℵo habitaciones (ω2×2, ω2×3, ω2×4, ... ω2×ω = ω2+1 = ω3),
   • 1 complejo hotelero de ℵo edificios de ℵo cuerpos de ℵo pisos de ℵo habitaciones (ω3×2, ω3×3, ω3×4, ... ω3×ω = ω3+1 = ω4),
   • 1 empresa de ℵo complejos hoteleros de ℵo edificios de ℵo cuerpos de ℵo pisos de ℵo habitaciones (ω4×2, ω4×3, ω4×4, ... ω4×ω = ω4+1 = ω5),
   • etcétera.
   El límite de todas las potencias finitas de ω (ω2, ω3, ω4, ...) es la potencia transfinita ωω, ordinal que identifica 1 estructura compuesta por las ℵo estructuras de integración sucesiva que hay en ese "etcétera". Y todavía (y siempre) es el principio.


4. La distribución

   Pasemos de la metáfora de la construcción de unidades en una archiestructura de crecimiento fractal a la metáfora de la distribución de infinitas unidades en una estructura. En lugar de levantar habitaciones vamos a repartir infinitos números naturales de tantas formas diferentes como números ordinales veamos. Y ya que estamos, apuntemos lejos: recorramos el camino que lleva a distribuir ℵo números naturales en una estructura ωω.
   En la primera etapa del viaje empezamos desplegando, de menor a mayor, todos los números primos y continuamos con la multiplicación de cada uno por sí mismo y por los primos que le siguen. El punto de partida, la serie de los números primos [2, 3, 5, 7,...], presenta el ordinal ω, ya que su estructura es la de una progresión infinita con un primer (y menor) término:

x, x, x, x, ...

   En el primer turno, la multiplicación del 2 por sí mismo y por los primos que le son superiores genera otra serie con el ordinal ω: [4, 6, 10, 14,...]; otro tanto sucederá cuando le llegue el turno a cada uno de los restantes números primos (el 3, el 5, el 7, etc.). Por lo tanto, como las series con ordinal ω se suceden infinitas (ℵo) veces, todas ellas cons­tituyen una serie cu­yo propio ordinal es ω×ω, es decir, ω2.
   Todos los números naturales dispuestos hasta ahora o son números primos o son productos de una multiplicación entre números primos. Así, el cumplimiento de la primera etapa de la distribución nos ha dado dos series de números naturales: primero, una de ordinal ω (la serie de todos los primos, de la que partimos); luego, otra de ordinal ω2 (los productos del 2, los del 3, los del 5, etc.):

[2, 3, 5, ...]     [4, 6, 10, ...     9, 15, 21, ...     25, 35, 55, ... ...].

   La unión de estas dos series, consumada respetando su orden de gestación, nos da una serie de estructura idéntica a la mayor:

[2, 3, 5, ...     4, 6, 10, ...     9, 15, 21, ...    25, 35, 55, ... ...].

   Como la segunda, esta es también una sucesión infinita de sucesiones infinitas. No son la misma serie, porque difieren en su primera sucesión infinita (que en esta es la sucesión de los primos y en aquella es la sucesión de sus duplos); pero tienen la misma estructura y, por lo tanto, el mismo número ordinal (análogamente, el conjunto de los naturales y el de los pares no son el mismo conjunto, pero tienen el mismo número cardinal).
   Aritméticamente, la unión de dos series se expresa como la suma de sus números ordinales, del mismo modo que la unión de dos conjuntos se expresa como la suma de sus números cardinales. La unión que acabamos de hacer corresponde a la suma ω + ω2 = ω2. Si no hubiésemos respetado el orden en que se presentaron las series, el resultado de su unión (y el de la suma de sus ordinales) habría sido muy diferente. La serie obtenida habría sido la siguiente:

[4, 6, 10, ...     9, 15, 21, ...    25, 35, 55, ... ...        2, 3, 5, ...].

   La morfología de esta serie es la de una sucesión infinita de sucesiones infinitas seguida de una sucesión infinita:

[x, x, x, ...     x, x, x, ...     x, x, x, ... ...        x, x, x, ...].

   El ordinal de esta estructura es ω2+ω, número tanto más grande que ω2 como que en la jerarquía de los ordinales ocupa la ω-ésima ubicación después de ω2 (la primera ubicación la tiene ω2+1; la segunda, ω2+2; la n-ésima, ω2+n).
   Así, a diferencia de la unión de dos conjuntos (entidades que prescinden del orden de sus constituyentes y carecen, por lo tanto, de una forma definida), la unión de dos series (entidades que consisten en un orden y, por lo tanto, tienen la forma que dibuja ese ordenamiento) da resultados diferentes según en qué orden se la realice. O sea: en la suma, los números ordinales desconocen la propiedad con­mu­tativa que conocen los cardinales.

   Antes de pasar a la segunda etapa del proceso, observemos que esta distribución de números naturales, por estar basada en números primos, deja afuera a los dos números menores que el menor número primo: el 0 y el 1. No son necesarios para la prueba, pero pueden ser incorporados si se quiere, lo que puede servir para volver a ver la no conmutatividad de la suma con ordinales transfinitos.
   El objetivo es mostrar que los miembros de un conjunto enumerable (o sea, de cardinal ℵo) pueden ser distribuidos según la forma específica que identifica el número ordinal ωω, que es la de una progresión infinita de infinitas progresiones infinitas de infinitas progresiones infinitas de... (continúese ℵo veces esta recursión y se habrá enunciado la progresión que el ordinal ωω nombra). Para cumplir ese objetivo, como conjunto enumerable puede servir tanto el conjunto de todos los naturales como una parte infinita suya, la que consiste en todos excepto el 0 y el 1: {2, 3, 4, 5, 6, ...}. Este será el conjunto enumerable de naturales que será distribuido en una estructura de ordinal ωω operando a partir de primos.
   Pero si lo que se quiere es ubicar a todos los números naturales en esa estructura, bastará con unir antes de esta mega progresión (o de cualquiera de sus partes) la progresión finita de dos términos [0, 1]. Si lo hacemos al inicio del proceso, cuando sólo tenemos la sucesión infinita de los números primos, de las dos series

[0, 1]     [2, 3, 5, 7, ...]

obtendremos, uniéndolas en ese orden, la serie

[0, 1, 2, 3, 5, 7, ...],

cuya forma es la de una progresión infinita, igual que la del segundo sumando:

[x, x, x, x, x, ...].

   Si la progresión finita de 2 términos la uniéramos a la progresión infinita de primos colocándola después de ésta, en lugar de una estructura de 2+ω = ω obtendríamos una estructura de ω+2, que es el ordinal de la serie

[2, 3, 5, 7, ...     0, 1].

   Y si esos dos números naturales, inconseguibles mediante el recurso de los primos, los pospusiéramos a la serie completa que arma el recurso, estaríamos disponiendo todos los ℵo naturales en una estructura de ordinal ωω+2.


   En la segunda etapa de la distribución de los naturales en una estructura de ordinal ωω, el primo 2 multiplicará los productos del 2 (4, 6, 10, 14, ...), del 3 (9, 15, 21, 33, ...), y de los restantes primos mayores que él. A su turno, el siguiente primo, el 3, multiplicará los productos del propio 3, los del 5, los del 7, etc. Así, cada primo será el multiplicador de los productos de los primos que sean iguales o mayores que él. El siguiente cuadro reproduce las multiplicaciones de las dos etapas descriptas.


   Los números naturales que aportó la segunda etapa ya no son productos de números primos, sino productos de productos de números primos (por ejemplo, 12 es el producto de un primo, el 2, por el producto de 2×3, que son también primos).
   Reemplacemos las fórmulas por sus resultados y designemos con una letra minúscula griega cada columna consistente en una sucesión infinita de sucesiones infinitas (ω2). La columna de la multiplicación del 2 por los productos del 2, del 3, del 5, etc., llevará la primera letra del alfabeto, α; la columna de la multiplicación del 3 por los productos del 3, del 5, del 7, etc., llevará la segunda letra, β; y así siguiendo. La excepción será la columna de la primera etapa, también de ordinal ω2, que será identificada con una “P” latina.
   En el cuadro que muestra estos cambios, las dos series de resultados de la primera etapa (la serie con ordinal ω y la serie con ordinal ω2) figuran, respectivamente, con sus números en negrita y en itálica; los números de las infinitas series de la segunda etapa carecen de atributos tipográficos.


   La serie de las columnas [α, β, γ, δ, ...] es infinita, como que hay una por número primo. A su vez, cada columna es una sucesión infinita de sucesiones infinitas; las series con ordinal ω2, por lo tanto, se repiten infinitas veces: ω222+... = ω2×ω = ω2+1 = ω3. La serie de números naturales que provee la segunda etapa es, entonces, una sucesión infinita de sucesiones infinitas de sucesiones infinitas, cuyo ordinal es ω3.

   Recapitulemos las tres series de nuestra suma de ordinales:

ω    [2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, ...]
+
ω2  [4, 6, 10,...    9, 15, 21,...    25, 35, 55,...     49, 77, 91,... ...]
+
ω3  [8, 12, 20,... 18, 30, 42,... 50, 70, 110,... ...;     27, 45, 63,... 75, 105, 165,... 147, 231, 273,... ...;     125, 175, 275,... 245, 385, 455,... ...;     343, 539, 637,... ...;     ... ...]

   Esta suma supone la unión sucesiva y ordenada de las series. Si a la serie que es la unión de las dos primeras la unimos a la tercera, la primera de las infinitas sagas con ordinal ω2 no será ya

[8, 12, 20,...     18, 30, 42,...     50, 70, 110,...     ...]

sino

[2, 3, 5,...    4, 6, 10,...    9, 15, 21,...    25, 35, 55,...    ...].

   Nuevamente, esto significa que la serie unión de las tres series es diferente en su conformación a la tercera de ellas (difieren en sus términos), pero no en su forma o tipo de orden (su “ordinalidad”): ambas tienen la misma estructura y, en consecuencia, el mismo número ordinal: ω3.

   La columna α resulta de multiplicar por 2 (el primer primo) la columna P desde su primera sucesión infinita; la columna β resulta de multiplicar por 3 (el segundo primo) la columna P desde su segunda sucesión infinita. Y en general, cualquier columna resulta de multiplicar por el n-ésimo primo la columna P desde su n-ésima sucesión infinita.
   En la tercera etapa del proceso, cada una de estas columnas griegas será objeto de una multiplicación análoga a la que sufrió P en la segunda; en la cuarta etapa, cada una de las columnas resultantes de la etapa anterior correrá la misma suerte; y así siguiendo. Estos son los productos de la tercera etapa:


   Recapitulemos el historial de nuestro ordenamiento. Primero, la estructura de ordinal ω que formó la serie de los números primos se repitió ℵo veces en una progresión idéntica a la original, sólo que ya no de números, sino de progresiones infinitas de números; el resultado fue una estructura de ordinal ω×ω = ω2. Ésta, en la segunda etapa, hizo lo mismo, para dar una estructura de ordinal ω2×ω = ω3. En la tercera etapa, igual: infinitas series de ordinal ω3 se suceden en una progresión infinita y dan una estructura de ordinal ω3×ω = ω4. La cuarta ronda de multiplicaciones dará una estructura de ordinal ω4×ω = ω5. El límite de la serie ω (= ω1), ω2, ω3, ω4, etc., es ωω.

   Una vez que se ha captado el mecanismo de la distribución, no es difícil extender sus resultados. Así, para distribuir los ℵo números naturales del subconjunto {2, 3, 4, 5,...} en una estructura que sea el doble de la anterior (o sea, de ordinal ωω×2), bastará con clonar la que acabamos de hacer.
   Para eso, en la primera estructura ωω, en lugar de empezar con la serie de todos los primos empezamos con otra que despliega una parte infinita de los primos: los que no son primos de Mersene. Para la segunda estructura ωω empezamos con la serie infinita de primos de Mersene, ordenados de menor a mayor, y le aplicamos el mismo sistema de multiplicaciones que ya conocemos.


   El éxito en la distribución de los ℵo números naturales en una estructura de ωω muestra que a este ordinal le corresponde aquel cardinal. Para decirlo de otra manera, el campo de una serie con ordinal ωω es un conjunto infinito enumerable, lo que demuestra su pertenencia a la Segunda Clase Numérica (cuyo primer número —por ser el menor de todos— es ω).

4.1 Los predecesores

   Podríamos ver otro conjunto de ℵo miembros distribuidos en una estructura ωω. Los miembros del conjunto esta vez no serían enteros positivos finitos, sino números ordinales. No cualesquiera ni en cualquier distribución, sino exactamente los que preceden —en este caso— al ordinal ωω en la serie de ordinales ordenados de menor a mayor.
   Pero como esta relación entre estructuras y tamaños vale para cualquier número ordinal, finito o transfinito, ilustrémosla con otros que nos resulten más intuibles. Por ejemplo, el ordinal ω+1, que identifica esta estructura:

x, x, x, x, ...     x.

   Esta progresión infinita (ω) seguida de un término suelto (+1) es la misma estructura que tienen los números ordinales que preceden a ω+1:

0, 1, 2, 3, ...     ω.

   Para el segundo ejemplo, retrocedamos un paso en la serie. El ordinal ω identifica la forma

x, x, x, x, ...,

que es la misma forma que tienen, ordenados de menor a mayor, los ordinales que preceden a ω, que son todos los finitos:

0, 1, 2, 3, ...

   Esto de que la forma que un ordinal identifica sea la que tienen los ordinales que lo preceden en la serie vale también para ordinales finitos, si empezamos por el 0. Así, el ordinal 3 identifica la forma

x, x, x

y esa progresión de tres términos es la que tienen sus predecesores:

0, 1, 2.

   Si lo que abunda no daña, vayamos hacia adelante del primer ejemplo para dar el cuarto. El ordinal ω+2 identifica el ordenamiento de una progresión infinita seguida por (una progresión de) dos términos:

x, x, x, x, ...     x, x.

   Es lo mismo que dibujan los ordinales que preceden a ω+2:

0, 1, 2, 3, ...     ω, ω+1.

   A riesgo de saturar, como quinto y último ejemplo saltemos al siguiente límite de una sucesión infinita. El ordinal ω+ω sigue a [ω, ω+1, ω+2, ω+3,...] como ω sigue a [0, 1, 2, 3,...]: es el que viene después de ese desfile infinito de números. Y del mismo modo que 3+3 puede expresarse como 3×2, y 8+8 como 8×2, ω+ω equivale a ω×2 e identifica una progresión de dos progresiones infinitas:

x, x, x, x, ...     x, x, x, x, ...

   Y exactamente eso dibujan los ordinales anteriores a ω×2:

0, 1, 2, 3, ...     ω, ω+1, ω+2, ω+3, ...

   En los cuatro casos que vimos de predecesores de un ordinal transfinito hay ℵo números ordinales distribuidos de menor a mayor, simplemente porque
o + 1 = ℵo,
o + 0 = ℵo,
o + 2 = ℵo, y
o + ℵo (= ℵo × 2) = ℵo.
   Ergo, ω+1, ω, ω+2 y ω+ω (ω×2) son números de la Segunda Clase Numérica. Ya demostramos que ωω también, rellenando su estructura con ℵo enteros positivos. Para verlo con su séquito de predecesores es necesario hacer una excursión más minuciosa y extensa por el paraíso ordinal de Cantor.


5. La excursión

   Empecemos desde el principio. El primer tramo lo cursamos paso a paso:

0, 1, 2, 3, ...

   Es la Primera Clase Numérica (Clase I), que tiene ℵo ordinales, todos finitos. El paso a paso no nos sacará de ahí; será necesario dar un salto al límite de esa serie infinita, al ordinal transfinito que sigue a todos los ordinales finitos, cuya forma identifica (x, x, x, x, ...) justamente porque los tiene de predecesores.
   Pero ω no es el único ordinal transfinito que hay: no es máximo, insuperable: es el primero porque es el menor de todos los ordinales transfinitos de la Segunda Clase Numérica (Clase II). ¿Cuáles son? Los que identifican estructuras que pueden alojar ℵo elementos. ¿Cuántos son? ℵ1.
   ¿Cómo sigue? Los ℵ2 ordinales de la Clase III serán los que identifiquen estructuras que puedan alojar ℵ1 elementos. Y en general, los ℵn ordinales de la Clase n+1 son los que identifican estructuras que pueden alojar ℵn–1 elementos (n > 0).
   Pero volvamos a la Clase II que, salto al límite mediante, acabábamos de abordar. ¿Cómo seguimos? Dando los mismos pasos que antes de dar aquel salto:

ω (= ω+0),    ω+1,    ω+2,    ω+3, ...

   De nuevo, dar otro paso no nos saca de ahí; dar un nuevo salto al límite de esa sucesión infinita, sí. Así llegamos a ω+ω, que es ω×2, que inaugura otra sucesión infinita de ordinales consecutivos:

ω×2,    (ω×2)+1,    (ω×2)+2,    (ω×2)+3,    (ω×2)+4, ...

   Otro salto al límite nos deja en (ω×2)+ω = ω+ω+ω = ω×3, que inaugura otra sucesión infinita de ordinales finitos que se le suman. Podemos prever que esto se repetirá infinitamente, es decir: podemos seguir la serie infinita de esos ordinales límite (ω×2, ω×3, ω×4, ω×5, ...) y saltar a su límite (ω×ω = ω2). La distancia que hay entre ellos no es 0, como entre términos consecutivos, sino ω: entre ω×2 y ω×3, por ejemplo, está la serie de ordinales sucesores terminados en sumas que desplegué arriba.
   Como cada límite de cada serie abre una serie nueva inmediata y participa de otras series mediatas, los atajos se encabalgan. Y entonces podemos decir, sin necesidad de cursar una infinidad de sumas y multiplicaciones, que el límite ω2 participa de la serie de límites que sigue con ω3, ω4, ω5, ... y salta a ωω.

5.1 Zoom in

   Los atajos son ideales para avanzar rápido, tal vez a la mayor velocidad posible, y para eso los usaremos más adelante, cuando hagamos zoom out sobre esta región inicial del paraíso de Cantor. Pero también pueden dejarnos sin ver el arrastre que trae consigo ωω, su grado de complejidad. Para verlo, hagamos un zoom in y distingamos los tipos de límite involucrados hasta ese, que es el límite de lo que llamaré el Ciclo 1.
   Si empezamos apilando las infinitas sucesiones infinitas (o listándolas, si la primera va arriba), el primer límite "horizontal" es ω; el segundo, ω×2; el tercero, ω×3; etc. Siguiendo la serie de estos ordinales límite (separados por 1 progresión infinita), saltamos por el borde derecho de un cuadrado infinito al primer límite "vertical": ω×ω = ω2. El segundo será ω2×2; el tercero, ω2×3; siguiendo la serie de estos límites verticales (separados por infinitas progresiones infinitas), tenemos el primer límite "diagonal": ω2×ω = ω2+1 = ω3. Veamos primero el desarrollo del Ciclo 1 y después su dibujo.



   Cada salto al límite se hace cargando consigo a los anteriores. En ω tenemos el primer límite horizontal (LH), el de la progresión de ordinales consecutivos [0, 1, 2, 3,...]. En ω2 tenemos el primer límite vertical (LV), el de la progresión ω de límites horizontales [ω, ω×2, ω×3, ω×4,...], cada uno límite de una progresión ω de ordinales consecutivos. En ω3 tenemos el primer límite diagonal (LD), el de la progresión ω de límites verticales [ω2, ω2×2, ω2×3, ω2×4,...], cada uno límite de una progresión ω de límites horizontales [ω, ω×2, ω×3, ω×4,...], cada uno límite de una progresión ω de ordinales consecutivos. Y así siguiendo hasta saltar a ωω, límite del Ciclo 1 (o primer límite de Ciclos):



   Volvimos a llegar a ωω. Pero esta vez vamos a ir un poco más allá, para apreciar la parsimonia del crecimiento. El límite del Ciclo 2 apenas replica (duplica) esa estructura:



   La acumulación de límites (horizontales, verticales, diagonales, etc.) continúa de esta manera en el Ciclo 2:



   Así como el ordinal que le sigue a ω es ω+1, la potencia que le sigue a ωω es ωω+1, que nos será dada por el límite de la sucesión de los ciclos:

Límite del Ciclo 1:
Límite del Ciclo 2:
Límite del Ciclo 3:
Límite del Ciclo 4:
···
Límite de la Ronda 1 de Ciclos:
ωω
ωω ×2
ωω ×3
ωω ×4
···
ωω ×ω = ωω+1

   Del mismo modo que el límite del Ciclo 2 nos daba una segunda vez la potencia obtenida en el límite del Ciclo 1, el límite de la segunda ronda de ciclos nos da una segunda vez la potencia ωω+1; y el límite de la n-ésima ronda dará por n-ésima vez la misma potencia. En el límite de la sucesión de rondas de ciclos se obtiene la potencia inmediatamente superior a la que i­nauguró la sucesión: ωω+2.

Límite de la Ronda 1 de Ciclos:
Límite de la Ronda 2 de Ciclos:
Límite de la Ronda 3 de Ciclos:
Límite de la Ronda 4 de Ciclos:
···
Límite de la Tanda 1 de Rondas:
ωω+1
ωω+1 ×2
ωω+1 ×3
ωω+1 ×4
···
ωω+1 ×ω = ωω+2

   En el límite de la sucesión de tandas de rondas de ciclos se obtiene la potencia siguiente.

Límite de la Tanda 1 de Rondas:
Límite de la Tanda 2 de Rondas:
Límite de la Tanda 3 de Rondas:
Límite de la Tanda 4 de Rondas:
···
Límite de la Serie 1 de Tandas:
ωω+2
ωω+2 ×2
ωω+2 ×3
ωω+2 ×4
···
ωω+2 ×ω = ωω+3

   Así, en general, en el límite de las repeticiones infinitas de una potencia dada se obtiene la potencia inmediatamente superior.
   Para Bajtín, no hay enunciado que se dé fuera de un género discursivo ni ǵenero discursivo que se dé fuera de alguna esfera de la comunicación ni esfera de la comunicación que se dé fuera de alguna sociedad. Acá es igual, pero anidando infinitamente: no hay salto al límite (horizontal, vertical, diagonal, transversal, etc.) que no per­tenezca a algún ciclo de saltos; ciclo que no pertenezca a alguna ronda de ciclos de saltos; ronda que no pertenezca a alguna tanda de rondas de ciclos de saltos; y así siguiendo, sin una instancia única en su tipo, la última, la definitiva: sin una estructura absoluta, un continente de todo no contenido por nada.

5.2 Zoom out

   Llegó el momento del zoom out. Armemos un recorrido por los ordinales vistos hasta ahora con la siguiente instrucción para cursar series infinitas (progresiones ω: x, x, x, x,...): ahí donde se deba caminar (ir paso a paso), caminemos; ahí donde se pueda saltar (ir de salto en salto), saltemos.

   No me refiero al salto al límite necesario para salir por arriba del laberinto de la línea infinita, el salto que nos saca de una serie para ponernos en el comienzo de la que le sigue. Me refiero a dos tipos de avance: a través de ordinales consecutivos (sucesores) o de ordinales no consecutivos (límite).

   Redundo en la consigna: no dejemos ningún atajo sin tomar, o dejemos pocos; cada viaje infinito tendrá el mismo número de movimientos, ℵo: aprovechemos cuando pueda abarcar el mayor número de estructuras intermedias. Avancemos sumando cuando haya que sumar y multiplicando y elevando cuando se pueda multiplicar y elevar.
   El primer viaje infinito es por ordinales consecutivos, los finitos, que forman la Primera Clase Numérica: 0, 1, 2, 3,... Saltamos a su límite, ω, nuestro segundo hito (si el primero fue 0, el inicio) y donde empieza nuestro segundo viaje infinito, también por ordinales consecutivos: ω+1, ω+2, ω+3, ω+4,... Si quisiéramos homogeneizar la sucesión, a ω lo expresaríamos como ω+0; un nombre le conviene a su condición de límite y el otro a su condición de primer término de la nueva serie, cuyo límite es ω+ω (aka ω×2).
   El tercer viaje infinito ya puede hacerse por ordinales no consecutivos: en vez de avanzar paso a paso con (ω×2)+1, (ω×2)+2, (ω×2)+3..., podemos sobreentenderlo, seguir por ω×3, ω×4, ω×5... y desembocar en ω×ω, que como cabeza de serie conviene llamar ω2. Así empieza el cuarto viaje infinito, que es el segundo que haremos (porque podemos) por términos no consecutivos: ω2, ω3, ω4..., que nos dejará en ωω, el tercer hito del recorrido.
   Antes de seguir, demorémonos en la diferencia que hay entre series efectivas y series virtuales. Las efectivas son tramos del recorrido real; por ejemplo, las citadas [ω, ω+1, ω+2,...], [(ω×2)+1, (ω×2)+2, (ω×2)+3,...] —cuyos ordinales son consecutivos— y [ω2, ω3, ω4,...] —cuyos ordinales no son consecutivos—.
   ω es igual a ω+0, por lo que participa de la primera de las tres series. Pero también es igual a ω×1 y a ω1 (del mismo modo en que 5 es igual a 5×1 y a 51) y sin embargo en el recorrido efectivo, que nunca retrocede, no encontramos a ω encabezando las otras dos series: los predecesores de ω×2 (= ω+ω) son los ordinales consecutivos de la serie [ω, ω+1, ω+2,...]; y ω2 (= ω×ω) está precedido por la serie de ordinales no consecutivos [ω×2, ω×3, ω×4,...]. Por lo tanto, las series [ω, ω×2, ω×3,...] y [ω, ω2, ω3,...] son virtuales.
   Lo mismo les pasa a los otros hitos del recorrido: sólo en su debut participan de (encabezan) series efectivas; en el resto de las igualdades su participación es virtual: se acoplan retrospectivamente a la cabeza de una serie real que empezó sin ellos. ¿Y cuáles son los hitos del viaje?
   Los hitos son el primer ordinal finito (el 0), el primer ordinal transfinito (ω), y las potencias ω-ésima, ωω-ésima, ωωω-ésima, etc., del ordinal ω. Cada hito es cabeza de tantas series homogéneas de ordinales como igualdades superfluas presenta (de la primera serie es cabeza efectiva; de las otras, virtual). Así, el 0 es cabeza de 1 serie, ya que sólo es igual a sí mismo; ω es cabeza de 3 series; ωω, de 5; ωωω, de 7; etc. Las primeras cuatro igualdades son estas:

0 = 0

ω = ω+0, ω×1, ω1

ωω = ωω+0, ωω×1, ωω+0, ωω×1, ωω1

ωωω = ωωω+0, ωωω×1, ωωω+0, ωωω×1, ωωω+0, ωωω×1, ωωω1

   Son todas operaciones que no varían el punto de partida, que es cada hito; cualquier número sumado a 0, multiplicado por 1 o elevado a la 1 da el mismo número. Por esto les pongo superfluas, pero con igual o mayor derecho podría ponerles "proféticas": esas igualdades, encabecen su serie de manera efectiva (la primera) o virtual (las otras), anticipan por dónde se desarrollará el viaje, el patrón que seguirá.
   Como la cantidad de igualdades superfluas/proféticas y de series encabezadas crece al ritmo de los impares (1, 3, 5, 7,...), éstos pueden ponerse en correspondencia 1 a 1 con los hitos, de paso que les cuantifican las igualdades. Por lo tanto, hay tantos hitos así (tantas potencias de ω a la ω) como enteros impares: ℵo. Es algo que el viaje por progresiones de ℵo ordinales, consecutivos o no, ya nos venía diciendo. Reanudémoslo.



   Como puede apreciarse, las sucesiones con términos consecutivos (paso a paso por ordinales que, salvo el primero, no son el límite de una serie infinita) son sólo la primera serie de cada hito y de cada sub-hito; discurren como por los techos del gráfico. Sin pintar quedaron las otras, las sucesiones con términos no consecutivos (salto a salto por ordinales que son el límite de una serie infinita, omitida —pero implicada— en el atajo).
   La relación entre los hitos (o sub-hitos) y las series que ellos encabezan (efectivamente, la primera; virtualmente, las otras) está representada por un racimo de flechas. Pero el viaje no se desvía por ahí, ni va y vuelve: sigue derecho por las series hasta encontrar un borde del gráfico y bajar a la siguiente (los giros son didácticos: bien podrían ponerse todas las series en una larguísima línea, regulando su grado de vecindad con puntos suspensivos). Podríamos dibujar el trayecto sin levantar una sola vez el lápiz; con líneas rectas zigzagueantes, nos quedaría algo así:



   El barrido de ordinales hasta ωωωω dice lo mismo que el barrido de todas las fracciones: hasta ahí hay ℵo ordinales en la Primera más la Segunda Clase Numérica. (Es algo que ya nos había dicho la correlación 1 a 1 entre hitos y números impares.)
   ω ya se sumó a, se multiplicó por y se elevó a ω. Mientras no haya una cuarta operación, seguirá elevándose a la ω infinitamente. Por eso, el siguiente atajo —el último que se puede tomar por acá— es ir por la sucesión de hitos:

0,   ω,   ωω,   ωωω,   ωωωω, ...

   Cada hito es una altura del bucle ascendente que va construyendo el paraíso de Cantor en la región de los naturales y las omegas. Y no, su serie no es la última. No hemos desembocado en un eterno y grácil bucle definitivo. Como siempre: esto recién empieza. La serie infinita de hitos tiene por límite un nuevo número ordinal de la Segunda Clase Numérica: εo (épsilon-cero). El paraíso de Cantor está contraindicado para gente ansiosa.
   Esa memebresía significa que también en una estructura εo pueden acomodarse ℵo elementos de un conjunto. Si se quiere ver un conjunto numerable así distribuido, bastará con ver el de ordinales que preceden a εo, ordenados de menor a mayor (el gráfico que hice abarca el inicio resumido de esa estructura, apenas hasta llegar al quinto hito).

5.3 A la Clase III y más allá

   Si sospechamos que en algún punto del viaje a εo le seguirá un ε1, sospechamos bien. Si sospechamos que ε1 será el primer ordinal de la Clase III, sospechamos mal. Pero con εo empieza la operación que nos llevará allá: subindizar.
   Así como la elevación infinita de ω a la ω “agota” la tercera operación y nos da un nuevo ordinal, la subindización infinita de εo “agota” lo que se puede hacer con él y nos da el ordinal que sigue a todos los de la Clase II: ω1. Hay un nuevo bucle ascendente:

εo ,    εεo ,    εεεo ,    εεεεo ,    εεεεεo ...

   El límite de esta serie, ω1, es el menor ordinal (y por lo tanto el primero) de la Clase III. Es el primer ordinal transfinito no precedido por ℵo ordinales; es el menor ordinal no numerable: identifica una estructura donde se distribuyen más de ℵo elementos; exactamente, ℵ1 (por ejemplo, los del conjunto de los ordinales que preceden a ω1).
   ¿Cómo se llega al salto al límite que nos deja en ω1 y deja atrás los ℵ1 ordinales de la Clase II (o de la unión de la Clase I, de ℵo ordinales, y la II, de ℵ1 ordinales, porque ℵo + ℵ1 = ℵ1)? Con paciencia y muchos atajos (razones didácticas hacen que sean más de los que podrían ser). En una primera etapa, la excursión nos llevará del inicio de la Clase I al de la III.
   Si lo que veremos abajo es una sucesión ordenada de series infinitas, en vez de una yuxtaposición arbitraria, es porque el ordinal inaugural de cualquiera es límite de la anterior (excepto el 0, que tiene 0 predecesores). No importa si los otros ordinales de la serie dan pasos o zancadas, o si son menos, igual o más rápidos que los predecesores del primero. Sólo importa que el primer ordinal de una serie sea el límite de la anterior, porque es así como se enganchan los eslabones de la cadena, los 27 tramos infinitos de este recorrido de 0 a ω1:

0, 1, 2… ω, ω+1, ω+2… ω×2, ω×3, ω×4… ω2, ω3, ω4… ωω, ωωω, ωωωω… εo, εo+1, εo+2… εo+ω, εo+(ω+1), εo+(ω+2)… εo+(ω×2), εo+(ω×3), εo+(ω×4)… εo2, εo3, εo4… εoω, εoωω, εoωωω… εoo = εo×2, εo×3, εo×4… εo×ω, εo×(ω+1), εo×(ω+2)… εo×(ω×2), εo×(ω×3), εo×(ω×4)… εo×ω2, εo×ω3, εo×ω4… εo×ωω, εo×ωωω, εo×ωωωω… εo×εo = εo2, εo3, εo4… εoω, εoωω, εoωωω… εoεo, εoεoεo, εoεoεoεo… ε1, ε1ε1, ε1ε1ε1… ε2, ε3, ε4… εω, εω+1, εω+2… εω×2, εω×3, εω×4… εω2, εω3, εω4… εωω, εωωω, εωωωω… εεo, εε1, εε2… εεω, εεωω, εεωωω… εεεo, εεεεo, εεεεεo… ω1

   Tal vez prefieran una marquesina:

0, 1, 2… ω, ω+1, ω+2… ω×2, ω×3, ω×4… ω2, ω3, ω4… ωω, ωωω, ωωωω… εo, εo+1, εo+2… εo+ω, εo+(ω+1), εo+(ω+2)… εo+(ω×2), εo+(ω×3), εo+(ω×4)… εo2, εo3, εo4… εoω, εoωω, εoωωω… εoo = εo×2, εo×3, εo×4… εo×ω, εo×(ω+1), εo×(ω+2)… εo×(ω×2), εo×(ω×3), εo×(ω×4)… εo×ω2, εo×ω3, εo×ω4… εo×ωω, εo×ωωω, εo×ωωωω… εo×εo = εo2, εo3, εo4… εoω, εoωω, εoωωω… εoεo, εoεoεo, εoεoεoεo… ε1, ε1ε1, ε1ε1ε1… ε2, ε3, ε4… εω, εω+1, εω+2… εω×2, εω×3, εω×4… εω2, εω3, εω4… εωω, εωωω, εωωωω… εεo, εε1, εε2… εεω, εεωω, εεωωω… εεεo, εεεεo, εεεεεo… ω1


   El número cardinal del conjunto de ordinales de la Clase I (ℵo, mismo número de elementos distribuibles en cualquier estructura identificada por un ordinal de la Clase II, empezando por ω) es superado por el cardinal del conjunto de ordinales de la Clase II (ℵ1, mismo número de elementos distribuibles en cualquier estructura de la Clase III, empezando por ω1). Como pasamos de una clase a la siguiente, una cardinalidad transfinita es inmediatamente superior a la otra, como el 1 lo es del 0.
   Si con sólo dos tamaños transfinitos, ℵo y ℵ1, se acumuló esa cantidad de tipos de orden, imaginate los que falta que se acumulen habiendo tantas alef como números ordinales, que les proveen los subíndices. Imaginate los que habrá cuando lleguemos a la Clase Numérica que tiene ℵεεεεεo ordinales. Recién salimos de la que tiene ℵ1, la II, y estamos por empezar a transitar la III.

   Recapitulemos. Hay 1 cardinal para cada ordinal de la Clase I porque los números finitos coinciden cuando indican un tamaño y cuando indican un tipo de orden (de los que son bien-ordenados, no de los otros). El cardinal 3 mide un trío de cosas y el ordinal 3 identifica el único tipo de orden que se puede hacer con 3 cosas, cualquiera sea la secuencia que se prefiera: una progresión finita, y no cualquiera (de cualquier longitud), sino sólo esta: x, x, x.
   En el resto de las clases numéricas, que involucran números transfinitos, por cada cardinal hay infinitos ordinales: para ℵo, los ordinales de la Clase II, que van de ω (= ωo) a ω1 (exclusive); para ℵ1, los ordinales de la Clase III, que van de ω1 a ω2 (exclusive); para ℵ2, los de la Clase IV, que van de ω2 a ω3 (exclusive); etc.
   Como se ve, un cardinal ℵn está asociado de un modo particular a un ordinal ωn, que expresa la menor estructura que requiere ℵn elementos y encabeza la Clase n+2 de números ordinales.

   Viajando por el paraíso de Cantor no hay enormidad que al rato no resulte una miniatura (al rato = después de una infinidad de eternidades). Retomemos el viaje; la próxima estación es ω2.
   El sucesor inmediato de ω1 es, por supuesto, ω1+1, seguido de ω1+2, etc. Si recursamos el camino que nos llevó hasta ahí, si repetimos todo el recorrido anterior pero anteponiendo «ω1+» a cada ordinal, estaremos replicando ω1, sumándolo (1 vez) a sí mismo, duplicándolo. Los últimos cinco tramos del ciclo son estos:

(...) … ω1ω2, ω1ω3, ω1ω4… ω1ωω, ω1ωωω, ω1ωωωω… ω1εo, ω1ε1, ω1ε2… ω1εω, ω1εωω, ω1εωωω… ω1εεo, ω1εεεo, ω1εεεεo… ω11 = ω1×2

   Y así como hay un ordinal ω1 (= ω1×1) y otro ω1×2, habrá un ω1×3; yendo por ese y otros atajos, la Clase III continúa así:

ω1×2, ω1×3, ω1×4… ω1×ω, ω1×ωω, ω1×ωωω… ω1×εo, ω1×εεo, ω1×εεεo… ω1×ω1 = ω12, ω13, ω14… ω1ω, ω1ωω, ω1ωωω… ω1εo, ω1εεo, ω1εεεo… ω1ω1, ω1ω1ω1, ω1ω1ω1ω1… ω2

   El ordinal ω2 es el menor (y por lo tanto el primero) de la Clase IV, que cuenta con ℵ3 ordinales, cada uno de los cuales identifica una estructura donde se acomodan ℵ2 elementos. Saltando de ω2 a ω3, ω4, etc., estaremos saltando de clase en clase (y, por lo tanto, de alef en alef, ya que hay una por clase). El atajo nos conducirá a un nuevo ordinal:

ω1, ω2, ω3… ωω, ωωω, ωωωω… ωεo, ωεoεo, ωεoεoεo… ωε1, ωε2, ωε3… ωεω, ωεωω, ωεωωω… ωεεo, ωεεεo, ωεεεεo… ωω1, ωω2, ωω3… ωωω, ωωωω, ωωωωω… k

   Volvimos… a entrar en loop. La última serie trazada es otro bucle ascendente: la subindización infinita de ω (su potenciación infinita la había hecho el bucle que en la Clase II nos dejó en εo, cuya subindización infinita nos dejó en ω1, el comienzo de la Clase III).
   El límite de la subindización infinita de ω es un nuevo ordinal, que llamo k porque lo leí en algún lado o porque lo inventé (creyendo haberlo leído en algún lado). Los nombres son convencionales; lo que importa es cómo se opera con los nuevos ordinales. Y a partir de acá sigo solo, a cuenta y riesgo: la bibliografía que consulté no llega tan lejos (Cantor, por ejemplo, llega hasta el primer ordinal no enumerable, el menor de la Clase III, ω1, al que llamó Ω).
   Empalmando los tramos, el desfile mántrico de 0 a k fluye así:

0, 1, 2… ω, ω+1, ω+2… ω×2, ω×3, ω×4… ω2, ω3, ω4… ωω, ωωω, ωωωω… εo, εo+1, εo+2… εo+ω, εo+(ω+1), εo+(ω+2)… εo+(ω×2), εo+(ω×3), εo+(ω×4)… εo2, εo3, εo4… εoω, εoωω, εoωωω… εoo = εo×2, εo×3, εo×4… εo×ω, εo×(ω+1), εo×(ω+2)… εo×(ω×2), εo×(ω×3), εo×(ω×4)… εo×ω2, εo×ω3, εo×ω4… εo×ωω, εo×ωωω, εo×ωωωω… εo×εo = εo2, εo3, εo4… εoω, εoωω, εoωωω… εoεo, εoεoεo, εoεoεoεo… ε1, ε1ε1, ε1ε1ε1… ε2, ε3, ε4… εω, εω+1, εω+2… εω×2, εω×3, εω×4… εω2, εω3, εω4… εωω, εωωω, εωωωω… εεo, εε1, εε2… εεω, εεωω, εεωωω… εεεo, εεεεo, εεεεεo… ω1, ω1×2, ω1×3… ω1×ω, ω1×ωω, ω1×ωωω… ω1×εo, ω1×εεo, ω1×εεεo… ω1×ω1 = ω12, ω13, ω14… ω1ω, ω1ωω, ω1ωωω… ω1εo, ω1εεo, ω1εεεo… ω1ω1, ω1ω1ω1, ω1ω1ω1ω1… ω2, ω3, ω4… ωω, ωωω, ωωωω… ωεo, ωεoεo, ωεoεoεo… ωε1, ωε2, ωε3… ωεω, ωεωω, ωεωωω… ωεεo, ωεεεo, ωεεεεo… ωω1, ωω2, ωω3… ωωω, ωωωω, ωωωωω… k



6. La sucesión de los ordinales base

   Si repetimos todo lo anterior pero agregando a cada ordinal el prefijo «k+», tendremos otra vez k, o sea, k+k = k×2. Entonces:

k×2, k×3, k×4… k×ω, k×ωω, k×ωωω… k×εo, k×εεo, k×εεεo… k×k = k2, k3, k4… kω, kωω, kωωω… kεo, kεεo, kεεεo… kω1, kω2, kω3… kωω, kωωω, kωωωω… kk, kkk, kkkk… ζo

   El ordinal que llamo ζo (ζ —zeta— es la letra griega que sigue a épsilon) es el límite del bucle de la potenciación infinita de k. Si ha de pasarle como a ω, el siguiente bucle que protagonice k será el de su subindización infinita, cuyo límite será un nuevo ordinal.
   Pero antes habrá un bucle de potenciación de ζo, cuyo límite será ζ1, y otro bucle de subindización de ζo, cuyo límite será k1 (como pasó con ω, k era ko). Sigamos:

k1, k2, k3… kω, kωω, kωωω… kεo, kεεo, kεεεo… kω1, kω2, kω3… kωω, kωωω, kωωωω… kk, kkk, kkkkm
–¿Por qué con M? –preguntó Alicia.
–¿Por qué no? –dijo la Liebre de Marzo.

Lewis Carroll, Aventuras de Alicia en el País de las Maravillas, Capítulo VII “Una merienda de locos”. Traducción de Eduardo Stilman para Los libros de Alicia, Ediciones de la Flor, Buenos Aires, 1998; página 78.


   Al nuevo ordinal llamalo m o como prefieras. Otra vez, lo que importa es de dónde viene y cómo sigue. Para seguir, simplemente habrá que tener en cuenta esta nueva igualdad. Repasemos las que se han acumulado hasta acá:

    Potenciación infinita de ω:
    ωωωω = εo

    Potenciación infinita de εn → εn+1:
    εoεoεoεo = ε1   ,   ε1ε1ε1ε1 = ε2   …

    Subindización infinita de εεo:
    εεεεo = ω1

    Potenciación infinita de ωn≥1 → ωn+1:
    ω1ω1ω1ω1 = ω2    ,    ω2ω2ω2ω2 = ω3   …

    Subindización infinita de ω:
    ωωωω = k

      Potenciación infinita de k:
      kkkk = ζo

      Potenciación infinita de ζn → ζn+1:
      ζoζoζoζo = ζ1    ,    ζ1ζ1ζ1ζ1 = ζ2     …

      Subindización infinita de ζζo:
      ζζζζo = k1

      Potenciación infinita de kn≥1 → kn+1:
      k1k1k1k1 = k2    ,    k2k2k2k2 = k3   …

      Subindización infinita de k:
      kkkk = m

   Con m pasará lo que pasó con k, que le pasó lo mismo que a ω: dos potenciaciones infinitas y dos subindizaciones infinitas.
   Las de las puntas son propias, empezando por su potenciación infinita; las del medio son de un ordinal derivado con subíndice 0, que infinitamente potenciado escala al siguiente subíndice propio (1, 2, 3… ω) e infinitamente subindizado escala al siguiente subíndice del ordinal base (m1, m2, m3…). Y la infinita subindización del ordinal base tiene por límite y sucesor otro ordinal base, que reinicia el ciclo de cinco hitos básicos.
   Si los nombres de los ordinales base se eligiesen mirando este atajo del paraíso de Cantor, no se llamarían ω, k, m…, sino a, b, c… o uno, dos, tres… . Como nada impide que haya infinitos ordinales base, el límite de esa sucesión es el ordinal omega (no ω, que en esta nomenclatura es uno).
   Omega no es un ordinal base de la serie: es el primer ordinal base transfinito, el que viene después de todos esos ordinales base nombrados por numerales finitos; es el primer y menor ordinal base de otra megaestructura, que seguirá con los ordinales base omega+1, omega+2, etc.
   De un ordinal base a otro hay, por decir algo, una infinidad de infinidades de ordinales. Pero si los adjetivos numerales de los números ordinales pueden nombrar a los ordinales base, hay tantos de unos como de otros.

   Como los ordinales base k y m son una repetición del ordinal base ω, también los podríamos llamar ω' y ω'' (omega prima y omega prima prima). Y a los primos podríamos anotarlos, para ahorrar «'», como ω'1 y ω'2.

   Aunque sea obvio, debe quedar muy claro que no es una nueva potenciación, sino una marca de repetición, un número de ciclo, como los anillos de un árbol. En esta eternidad no hace falta un arcángel que lleve la cuenta de los retornos: lo dice el mismo ordinal.

   El límite de la serie de ordinales base

ω (= ω'o), ω'1, ω'2, ω'3

será el ordinal base que sigue a todos ellos, primos finitos de ω: ω'ω.


No hay comentarios